La logica invertita può essere innaturale. Passiamo alla logica quantificata:
$$ \ forall x: ({duck} (x) \ land {quacks} (x)) \ lor ({ cane} (x) \ land {barks} (x)) \ lor (\ lnot {duck} (x) \ land \ lnot {dog} (x)) $$
" Tutto è o un'anatra (e ciarlatani) o un cane (e abbaia) oppure non è né anatra né cane. "
Se scrivi il duale, quindi usa DeMorgan su di esso per capovolgere la logica , otteniamo qualcosa di innaturale:
Doppio (finora tutto bene):
$$ \ lnot \ exist x: \ lnot (( ({duck} (x) \ land {quacks} (x)) \ lor ({dog} (x) \ land {barks} (x)) \ lor (\ lnot {duck} (x) \ land \ lnot { dog} (x))) $$
DeMorgan's, passaggio 1:
$$ \ lnot \ exist x: \ lnot (({duck} (x) \ land {quacks} (x)) \ land \ lnot ({dog} (x) \ land {barks} (x) \ land \ lnot (\ lnot {duck} (x ) \ land \ lnot {dog} (x)) $$
passaggio 2:
$$ \ lnot \ esiste x: (({\ lnot duck} (x) \ lor {\ lnot quacks} (x)) \ land ({\ lnot dog} (x) \ lor {\ lnot barks} (x) \ land ({duck } (x) \ lor {dog} (x)) $$
"Il re non esiste una cosa che, contemporaneamente:
- sia un non-quacker o un non-duck; e
- è un non abbaiatore o un non cane; e
- è un'anatra o un cane, o entrambi. "
Dite cosa? :)
La somma dei prodotti va di pari passo in mano con divide et impera. Una rappresentazione somma di prodotti di una proposizione la divide in tutti i casi che indipendentemente la rendono vera. La proposizione P è vera se tale e tale; o qualche situazione; o se quell'altro caso. La divisione in casi indipendenti aiuta la chiarezza nel ragionamento.
Inoltre, nella logica dei predicati e nel ragionamento correlato, di solito ci occupiamo di aspetti positivi, come "duck", e meno di negativi come "non-duck". "non-duck" non è una classe di oggetti. Le cose vengono classificate utilizzando attributi positivi che hanno, non ciò che non hanno. Lo spazio delle cose che sono "non-anatra" è illimitato. Ragionare con tali negativi crea confusione.
Nella logica proposizionale, come nella logica dell'ordine zero senza quantificatori, come ciò che trattiamo nei circuiti logici, noi può scrivere l'intera tavola della verità. Può risultare che lo spazio negativo di una funzione sia in effetti più semplice da caratterizzare.
Ad esempio una formula booleana su quattro variabili ha solo una tabella di 16 righe. Supponiamo che ci siano tre righe per le quali è vero e che sia falso ovunque. Quindi viene prodotta una formula semplice dando queste tre combinazioni di quattro variabili e combinandole con o”.
Ma supponiamo che la formula sia falsa solo su tre righe. Quindi può essere più conveniente e naturale caratterizzare queste eccezioni ed esprimerlo in questo modo: la formula è vera quando le variabili non sono in questa combinazione, e non in quest'altra combinazione, e non in questa terza combinazione. Gli operatori non possono quindi distribuire nelle combinazioni, producendo un prodotto sulle somme.
Esempio positivo:
ABCD P0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 1 0 00 0 1 1 00 1 0 0 1 * 0 1 0 1 00 1 1 0 00 1 1 1 1 * Somma dei prodotti: 1 0 0 0 0 P = A'BC'D '+ A 'BCD + ABC'D1 0 0 1 01 0 1 0 01 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 1 * 1 1 1 0 01 1 1 1 0
Esempio negativo:
ABCD P0 0 0 0 1 0 0 0 1 10 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 0 * 0 1 0 1 10 1 1 0 10 1 1 1 0 * Prodotto di somme: 1 0 0 0 1 P = (A'BC'D '+ A'BCD + ABC'D)' 1 0 0 1 1 P = (A'BC'D ')' (A'BCD) '(ABC 'D)' 1 0 1 0 1 P = (A + B '+ C + D) (A + B' + C '+ D') (A '+ B' + C + D ') 1 0 1 1 1
1 1 0 0 1 Somma dei prodotti: 1 1 0 1 0 * A'B'C'D '+ A'B'C'D + A'B'CD' ... (10 termini aggiuntivi) 1 1 1 0 11 1 1 1 1
Anche così, nonostante la sua semplicità, è piuttosto difficile capire la terza formula (prodotto-di-somme) rispetto alla seconda (prodotto-di- negated-products). Tuttavia, anche la somma non semplificata alternativa di 13 prodotti è difficile da capire, a causa dell'elevato numero di termini.
