Sembra che le risposte intuitive non lo facciano per te, quindi esaminiamo i conti.
Un condensatore è costituito da due conduttori separati da un isolante come vuoto, aria o un dielettrico (isolante). Quando metti una tensione attraverso lo spazio, un conduttore sviluppa una carica positiva in eccesso mentre l'altro sviluppa una carica negativa in eccesso uguale e opposta. L'equazione è \ $ Q = CV \ $, dove \ $ Q \ $ è la carica in eccesso e \ $ V \ $ è il voltaggio. Il rapporto tra i due è chiamato capacità (\ $ C \ $) ed è determinato dalla geometria dei conduttori e dalle proprietà dell'isolante.
Nella teoria dei circuiti , di solito lavoriamo con corrente, non con addebito. Quindi di solito vedrai un'altra equazione per i condensatori:
$$ i = C \ frac {dv} {dt} $$
Vediamo come funziona in un semplice circuito RC .
simula questo circuito - Schema creato utilizzando CircuitLab
Possiamo usare la legge di Ohm e l'equazione del condensatore per creare un'equazione KCL per il nodo \ $ v_o \ $.
$$ i_R = i_C $$$$ \ frac {v_i - v_o} {R} = C \ frac {dv_o} {dt} $$$$ RC \ frac {dv_o} {dt} + v_o = v_i $$
\ $ v_i \ $ e \ $ v_o \ $ sono entrambe funzioni di \ $ t \ $. Questa è un'equazione differenziale lineare del primo ordine. Quanto è facile risolverlo dipende da \ $ v_i \ $. La situazione più semplice è dove \ $ v_i \ $ è costante:
$$ RC \ frac {dv_o} {dt} = v_i - v_o $$$$ \ int {\ frac {dv_o} {v_i - v_o}} = \ int \ frac {1} {RC} dt $$$$ - \ ln (v_i - v_o) = \ frac t {RC} + C_0 $$$$ v_i - v_o = e ^ {- t / RC} e ^ {- C_0} $$
\ $ C_0 \ $ è una costante di integrazione. Per semplicità, daremo \ $ e ^ {- C_0} \ $ il nome \ $ C_1 \ $:
$$ v_i - v_o = C_1e ^ {- t / RC} $$
Abbiamo bisogno di una condizione iniziale per risolvere \ $ C_1 \ $. Questa condizione è il valore di \ $ v_i - v_o \ $ a \ $ t = 0 \ $. Se il condensatore è scarico, \ $ v_o (t = 0) = 0 \ $ e \ $ C_1 = v_i \ $, che fornisce un decadimento esponenziale:
$$ v_o = v_i - v_ie ^ {- t / RC} $$$$ v_o = v_i (1 - e ^ {- t / RC}) $$
Se il condensatore è carico, \ $ v_o (t = 0) = v_i \ $ e \ $ C_1 = 0 \ $, che ci fornisce la condizione CC:
$$ v_o = v_i - 0 \ cdot e ^ {- t / RC} = v_i $$
Quindi in DC, il condensatore si comporta come un circuito aperto. Ma cosa conta come DC? Nessuna tensione è davvero costante per tutto il tempo. Molti non sono nemmeno costanti per cinque minuti! La costante di tempo \ $ RC \ $ ci dice quanto tempo dobbiamo aspettare prima che la tensione del condensatore sia abbastanza stabile per le nostre esigenze. Diciamo che capovolgiamo un interruttore e colleghiamo una tensione CC a un condensatore scarico tramite un resistore. Quanto tempo impiega la tensione del condensatore a stabilizzarsi entro lo 0,1% del suo valore finale?
$$ v_o = 0.999v_i = v_i (1 - e ^ {- t / RC}) $$$$ e ^ {-t / RC} = 0,001 $$$$ t = -RC \ ln 0,001 $$
Se \ $ R = 10 \ k \ Omega \ $ e \ $ C = 1 \ \ mu F \ $, la risposta è 69 millisecondi.
Ora che abbiamo una definizione pratica per DC, diamo un'occhiata ad AC. Considereremo solo le sinusoidi qui, poiché puoi usare le trasformate di Fourier per esprimere qualsiasi segnale in termini di sinusoidi. Tornando alla nostra equazione differenziale:
$$ RC \ frac {dv_o} {dt} + v_o = V_i \ cos (\ omega t) $$
Qui c'è qualche brutto trig che non ho intenzione di affrontare. Ti do invece la versione breve. In base alla forma dell'equazione differenziale, presumi che \ $ v_o \ $ debba essere qualcosa del tipo:
$$ v_o = A \ cos (\ omega t) + B \ sin (\ omega t) $$
Quindi, dopo molto lavoro in più, scopri che la risposta finale è:
$$ v_o = \ frac {V_i} {\ sqrt {1 + (\ omega RC) ^ 2}} \ cos (\ omega t - \ tan ^ {- 1} (\ omega RC)) $$
Notare che l'ampiezza di la tensione del condensatore dipende dalla frequenza e dalla costante di tempo RC! Questo perché stiamo prendendo le derivate delle sinusoidi e le derivate delle sinusoidi sono proporzionali alla loro frequenza:
$$ \ frac {d} {dt} A \ cos (\ omega t + \ phi) = A \ omega \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Nota anche che questa tensione ha la stessa frequenza della tensione di ingresso, ma un'ampiezza e una fase diverse.
Risolvere equazioni differenziali come questa è difficile e richiede tempo. Fortunatamente, c'è un modo più semplice: l'analisi dei fasori. Invece di usare seno e coseno a valori reali, utilizziamo esponenziali complessi come \ $ e ^ {j \ omega t} \ $. Questi rendono le equazioni differenziali molto più semplici, consentendo alla frequenza (che è sempre la stessa) di abbandonare del tutto, lasciandoci solo ampiezze e fasi. Possiamo combinarli in singoli valori complessi.
$$ v_c = V_C e ^ {j \ omega t} $$$$ i_c = I_C e ^ {j \ omega t + \ phi} = I_C e ^ {j \ omega t} e ^ \ phi $$$$ i_C = C \ frac {dv_c} {dt} $$$$ I_C e ^ {j \ omega t} e ^ \ phi = C \ frac {d} {dt} V_C e ^ {j \ omega t} $$$$ I_C e ^ {j \ omega t} e ^ \ phi = j \ omega C V_C e ^ {j \ omega t} $$$$ I_C e ^ \ phi = j \ omega C V_C $$$$ \ frac {V_C} {I_C} e ^ {- \ phi} = \ frac 1 {j \ omega C} $$
$$ Z_C = \ frac 1 {j \ omega C} $$
Questa "impedenza" agisce come una resistenza a valori complessi e segue una regola simile alla legge di Ohm. Come puoi vedere, anch'esso dipende dalla frequenza angolare \ $ \ omega \ $. Il rapporto tra corrente e tensione è grande quando la frequenza è grande e piccola quando la frequenza è piccola. Agli estremi diciamo che un condensatore agisce come un circuito aperto in CC e un cortocircuito alle alte frequenze . Ciò significa che in DC, puoi mettere una grande tensione attraverso un condensatore senza che la corrente lo attraversi. Alle alte frequenze, puoi far passare una grande corrente attraverso un condensatore senza vedere una tensione attraverso di esso.
Spero che questa risposta gigantesca abbia chiarito alcune cose. Sentiti libero di porre domande di follow-up se c'è qualcosa che non capisci.
