A ispezione, il valore massimo possibile di resistenza è \ $ \ small3 \ Omega \ $ (per \ $ \ small n = 1 \ $), e per \ $ \ small n>1 \ $ la resistenza deve essere \ $ \ small >2 \ Omega \ $, quindi \ $ \ small 2< R_n \ le 3 \ $

Calcolo dei valori di resistenza effettiva, \ $ \ small R_n \ $, per \ $ \ small n = 1, \ : 2, \: 3, \: 4, \: 5, \: 6 \: ... \ $ restituisce:

$$ \ small [3, \: 2 \ frac {3} { 4}, \: 2 \ frac {11} {15}, \: 2 \ frac {41} {56}, \: 2 \ frac {153} {209}, \: 2 \ frac {571} {780} \: ...] $$

Inizialmente considerando solo le parti frazionarie e notando che \ $ \ small 3 = 2 \ frac {1} {1} \ $, possiamo scrivere la sequenza: $ $ \ small [1, \: 1, \: 3, \: 4, \: 11, \: 15, \: 41, \: 56, \: 153, \: 209, \: 571, \: 780 \ : ...] $$

Ricerca in un catalogo di funzioni che generano trasformazioni z per questa particolare sequenza ( http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/MasterThesis. pdf) restituisce:

$$ \ small F (z) = \ frac {z ^ 2 + z-1} {z ^ 4-4z ^ 2 + 1} $$

Il denominatore viene scomposto in una forma molto conveniente (che fortuna!), e la funzione generatrice può essere exp espresso in frazioni parziali come:

$$ \ small F (z) = \ frac {A} {za} + \ frac {B} {z + a} + \ frac {C} {zb} + \ frac {D} {z + b} $$

dove le costanti: a, b, A, B, C, D sono:

\ $ \ small a = \ sqrt {2+ \ sqrt3} \ $,

\ $ \ small b = \ sqrt {2- \ sqrt3} \ $,

\ $ \ small A = \ frac {a ^ 2 + a-1} {2a (a ^ 2-b ^ 2)} \ $,

\ $ \ small B = \ frac {a ^ 2-a-1} {2a (b ^ 2-a ^ 2)} \ $,

\ $ \ small C = \ frac {b ^ 2 + b-1} {2b (b ^ 2-a ^ 2)} \ $,

\ $ \ small D = \ frac {b ^ 2-b-1} {2b (a ^ 2-b ^ 2)} \ $

z- inverso trasformando \ $ \ small F (z) \ $ si ottiene l'espressione in forma chiusa per la sequenza:

$$ \ small f (k) = A (a) ^ k + B (-a) ^ k + C (b) ^ k + D (-b) ^ k $$

Il valore di resistenza, \ $ \ small R_n \ $, per n sezioni può ora essere ottenuto valutando l'ultima equazione con \ $ \ small k = 2n \ $ e \ $ \ small k = 2n-1 \ $, per formare il denominatore e il numeratore della parte frazionaria di \ $ \ small R_n \ $; e quindi aggiungendo \ $ \ small 2 \ Omega \ $:

$$ \ small R_n = 2+ \ frac {A (a) ^ {2n-1} + B (-a) ^ {2n -1} + C (b) ^ {2n-1} + D (-b) ^ {2n-1}} {A (a) ^ {2n} + B (-a) ^ {2n} + C (b ) ^ {2n} + D (-b) ^ {2n}} $$

Questa è l'espressione in forma chiusa richiesta.

Ottime risposte. Potresti chiederti come Mathematica sia in grado di trovare la risposta. Abbiamo $$ R_ {n + 1} = 2 + (1 \; \ | \; R_n), \; \ text {con} R_0 = 3 $$ o $$ R_ {n + 1} = 2 + \ frac {1} {1 + \ frac {1} {R_n}} = 2 + \ frac {R_n} {R_n + 1} = 2 + \ frac {R_n + 1-1} {R_n + 1} = 3- \ frac {1} {R_n + 1}, $$ Diamo un'occhiata alla sequenza \ $ x_n = R_n + 1 \ $, per ottenere un divisore proprio: $$ x_ {n + 1} = R_ {n + 1} + 1 = 4 - \ frac {1} {R_n + 1} = 4 - \ frac {1} {x_n} $$ Cioè: $$ \ {x_n \} _ 0 ^ \ infty = \ left \ {4, \; 4- \ frac {1} {4}, \; 4- \ frac {4} {15}, \; \ ldots \ right \} $$ Il trucco ora è definire un'altra sequenza $$ y_ {n + 1} = y_ { n} x_ {n}, \ qquad y_0 = 1, $$ Quindi $$ \ frac {y_ {n + 2}} {y_ {n + 1}} = x_ {n + 1} = 4 - \ frac {1 } {x_n} = 4 - \ frac {y_n} {y_ {n + 1}}, $$ Che dà $$ y_ {n + 2} - 4y_ {n + 1} + y_n = 0 $$ Questa ricorrenza lineare può essere risolto con tecniche standard. La sua equazione caratteristica (\ $ z ^ 2-4z + 1 = 0 \ $), ha zeri \ $ z_ {1,2} = 2 \ pm \ sqrt {3}, \ $ quindi la ricorrenza può essere scritta $$ y_n = A (2- \ sqrt {3}) ^ n + B (2+ \ sqrt {3}) ^ n, $$ per alcuni \ $ A \ $ e \ $ B \ $. Collegando \ $ y_0 = 1 \ $ si ottiene \ $ B = 1-A \ $. Da \ $ y_1 = y_0 x_0 = 4 \ $ otteniamo $$ 4 = A (2- \ sqrt {3}) + (1-A) (2+ \ sqrt {3}) \\ A = \ frac {1 } {2} - \ frac {1} {3} \ sqrt {3} $$

Infine, otteniamo la soluzione in forma chiusa da $$ R_n = x_n - 1 = \ frac {y_ {n +1} -y_n} {y_n} = \ frac {A (1- \ sqrt {3}) (2- \ sqrt {3}) ^ n + B (1+ \ sqrt {3}) (2+ \ sqrt {3}) ^ n} {A (2- \ sqrt {3}) ^ n + B (2+ \ sqrt {3}) ^ n} $$

Puoi risolvere questo problema assumendo che la serie converga. Se questo è vero, l'aggiunta di un'altra sezione apporta una modifica infinitesimale al risultato. Pertanto, il valore a cui convergono deve soddisfare:

$$ X = 2 + \ frac {1} {1 + \ frac {1} {X}} $$

Risolvendo per X si ottiene \ $ 1 \ pm \ sqrt {3} \ $. Poiché ha senso solo un risultato positivo, il valore è 2.7320508 ...

Ma non è questa la domanda che hai effettivamente posto. Temo che le mie capacità matematiche non siano all'altezza del compito di trovare una soluzione in forma chiusa per un numero finito di sezioni. Solo elaborando i primi passaggi si ottiene:

• \ $ R_1 = 3 \ $
• \ $ R_2 = \ frac {11} {4} \ $
• \ $ R_3 = \ frac {41} {15} \ $
• \ $ R_4 = \ frac {153} {56} \ $

I numeri non sembrano formare una serie di potenze, quindi probabilmente è coinvolto un esponenziale ...