La risposta alla tua domanda è NO. Con una tale forma d'onda per la tensione (o corrente) la reattanza non è definita dalla stessa formula utilizzata con gli ingressi e le uscite stato stazionario sinusoidale (con o senza la modifica del fattore 2 per la frequenza) perché il i concetti di reattanza, impedenza e fasori si applicano solo allo stato stazionario sinusoidale .

Applicabilità del concetto di impedenza

I sinusoidi, i cosinusoidi e i loro parenti complessi, esponenziali, hanno la proprietà molto speciale di mantenere la loro forma d'onda in circuiti invarianti tempo lineari. La ragione di tutto ciò si riduce all'auto-similarità della funzione esponenziale, ma si può pensare a una spiegazione più 'reale' considerando che la derivata di un seno è un coseno (un'altra funzione sinusoidale, appena spostata) e allo stesso modo, la la derivata di un coseno è un seno (ok, con un cambio di segno, può ancora essere registrato come sfasamento). E la relazione costitutiva di induttori e condensatori (lineare, tempo-invariante) è una relazione lineare che coinvolge derivati. Quindi, in pratica: tensione sinusoidale o corrente IN ---> corrente sinusoidale o tensione OUT.

L'unico effetto che un circuito con R, L e C può avere su una sinusoide è di attenuarlo e di sfasarlo. Si può descrivere questo effetto con una quantità matematica che includa queste due informazioni. E indovina un po ', un numero complesso fa proprio questo.

L'impedenza è descritta da questo numero complesso. Hai uno stimolo sinusoidale e una risposta sinusoidale. Quando descritto dai fasori, il loro rapporto è solo un numero complesso - l'impedenza, o l'ammettenza a seconda di come ti piace vederlo - che descrive quanto la risposta è stata attenuata e spostata in fase.

Iapplicabilità del concetto di impedenza

MA tutto questo macchinario semplificato può funzionare solo se hai IN sinusoidale e OUT sinusoidale. Non funziona con altre forme di forme d'onda perché vengono "distorte" da derivati ​​(e integrali). Ciò significa che quando si alimenta un circuito invariante tempo lineare R-L-C con un ingresso non sinusoidale, il concetto di impedenza non può più essere utilizzato perché sarebbe privo di significato.

Possiamo vederlo risolvendo le equazioni differenziali che governano il circuito o ... semplicemente usando un simulatore :-) Ho eseguito un paio di simulazioni LTSpice alimentando un induttore con una tensione sinusoidale rettificata a onda intera e generatori di corrente controllati da questa tensione:

Ho dovuto utilizzare generatori di tensione e corrente controllati in tensione per assicurarmi che il circuito L non caricasse il raddrizzatore (cosa che fa, e molto). I risultati sono sorprendentemente diversi.

Quando una tensione V (out2) con quella forma viene forzata attraverso un induttore, otteniamo una corrente che si accumula indefinitamente, come mostrato dalla forma d'onda viola I (L2). Ciò non è sorprendente, poiché per ottenere la corrente dobbiamo integrare la tensione nel tempo e poiché V (out2) non diventa mai negativo, possiamo solo aggiungere, aggiungere e aggiungere ...

Ma se una corrente I (L1) con quella forma viene forzata in un induttore, otteniamo una tensione periodica distorta di tipo triangolare V (out) attraverso di esso. La ragione di questo comportamento sorprendentemente diverso è che ora per ottenere la forma della tensione dobbiamo prendere la derivata della corrente.

Vale la pena notare che il concetto di impedenza richiede che i segnali siano both sinusoidale e stato stazionario . L'esempio precedente ha utilizzato uno stimolo sinusoidale a tratti e sebbene in ciascun periodo la derivata e l'integrale siano ancora di forma sinusoidale, la forma complessiva della forma d'onda non lo è. Quando è coinvolta la derivata abbiamo delle discontinuità (nella simulazione sopra sono ammorbidite perché il segnale in ingresso lo era, dato che ho usato dei veri diodi nel mio raddrizzatore a onda intera); quando è coinvolto l'integrale, si ha un accumulo dovuto al valore della costante di integrazione fissato dalle condizioni al contorno.

In entrambi i casi, poiché derivate e integrali di funzioni che non sono esponenziali, seno o coseno restituiscono in generale funzioni con una forma diversa, non è più possibile descrivere l'effetto che l'induttore ha sulla forma d'onda dello stimolo come una semplice attenuazione e fase cambio. La conclusione è che puoi dire addio al concetto di impedenza.

Fourier analisi in soccorso

Puoi comunque usare il concetto di impedenza utile, se lo applichi entro i suoi limiti. Se scomponi il segnale di ingresso non sinusoidale in una somma di sinusoidi (anche una serie, o un integrale se non è periodico) di frequenze diverse, puoi utilizzare il concetto di impedenza su ogni singolo componente sinusoidale per trovare le componenti sinusoidali di il segnale di uscita e quindi ricostruire la forma d'onda risultante.

Certo, la formula è sempre la stessa. E sì, hai ragione sul fatto che la frequenza fondamentale è raddoppiata rispetto all'onda sinusoidale originale.

La differenza è come viene utilizzata la formula. Questa formula di reattanza è una rappresentazione a frequenza singola delle proprietà dipendenti dal tempo di un induttore. Una sinusoide pura è composta solo da una singola frequenza, quindi puoi facilmente calcolare la reattanza a quella frequenza.

Una sinusoide rettificata è composta da una somma infinita di sinusoidi pure ad ogni multiplo intero della frequenza fondamentale. Quindi, l'equazione originale è accurata ... ma solo per una componente di frequenza alla volta. Tecnicamente, potresti risolvere il circuito calcolando la reattanza a ciascuna delle componenti di frequenza (infinite), trovando la tensione o la corrente di interesse e sommando i risultati su tutte le frequenze, ma a seconda di come appare il tuo circuito e di quali informazioni effettivamente necessario, potresti voler selezionare un approccio diverso per risolvere il problema.

Per ulteriori informazioni, ti consiglio di ricercare la trasformata di Fourier, incluso cos'è la trasformata di Fourier di una sinusoide rettificata.

Phew!La tensione di ingresso che hai disegnato può essere approssimata abbastanza bene con alcuni termini di una serie di Fourier.

Da questa pagina su RFCafe, un'onda sinusoidale a 50 Hz rettificata con un'ampiezza di picco di V, ha questi componenti:

• CC di 0,63 V
• 100 Hz di 0,42 V
• 200 Hz di 0,08 V
• 300 Hz di 0,04 V

Probabilmente è sufficiente per i tuoi scopi.

La corrente totale che scorre in un carico RL collegato a questa sorgente è quindi:

Itot = 0,63 * V / R + 0,42 * V / (sqrt (R ^ 2 + (2pi * 100 * L) ^ 2)) + ... ecc

Senza R, ovviamente, la corrente è infinita a causa della componente CC.

Dopo che è stato mostrato uno schema, ho deciso di fare ciò che Chris ti ha consigliato di fare. Simularlo numericamente.

Quindi ho scelto il mio simulatore preferito, CircuitJS, e ho provato a creare lo stesso schema della tua domanda.

Questo è il mio tentativo:

Collega alla simulazione in modo da poter interagire con essa.

• La linea verde è la tensione attraverso l'induttore
• La linea gialla è la corrente che attraversa l'induttore
• La linea bianca è la potenza reattiva dell'induttore

L'amplificatore operazionale più a sinistra ha la seguente espressione matematica \ $ V_ {out} = \ text {abs ($ V_ {in} $)} \ $, l'ingresso è un'onda sinusoidale con un'ampiezza di 5 V. Quindi questa tensione è tamponata con un secondo amplificatore operazionale. Entrambi gli amplificatori operazionali sono ideali in modo che possano fornire, in teoria, una corrente infinita.

Quindi l'amplificatore operazionale più a destra agisce semplicemente come una sorgente di tensione ideale.

Come puoi vedere, la corrente che attraversa l'induttore è semplicemente l'integrale della tensione ai suoi capi, che tenderà all'infinito. Anche la potenza reattiva tenderà all'infinito.

Quando la potenza reattiva è nota, la reattanza può essere calcolata come segue:

\ $ Q = \ frac {V ^ 2} {X} \ $

e vogliamo X

\ $ X = \ frac {V ^ 2} {Q} \ $

Quindi \ $ V ^ 2 \ $ è periodico con un'ampiezza che non cambierà mai. Mai per sempre.

Ciò significa che \ $ X = \ frac {V ^ 2} {Q} \ $ tenderà a 0 Ω, perché come puoi vedere, Q cresce sempre più grande all'infinito (visto in bianco).

Aggiungendo un semplice resistore da 1 ohm in serie con l'induttore, che ovviamente dovrebbe essere lì. Duh! Stupido me.

Quindi ottieni qualcosa che assomiglia a questo:

Ecco il link a questo schema se vuoi interagire con questo.

I grafici sono identici a quelli sopra.

Derp, troppo stanco per modificare correttamente questa domanda. Se qualcuno ha voglia, modificalo. In caso contrario, non farlo. Ragazzi Adjö.

No, perché quella formula (\ $ X = 2 \ pi f L \ $) si basa sulle proprietà delle onde sinusoidali e l'AC rettificata non è un'onda sinusoidale.

La definizione di induttanza, L, è:

$$ V = L \ frac {dI} {dt} $$

dove I è la corrente attraverso l'induttore e V è la tensione indotta ai suoi capi (con le funzioni I e V del tempo, t).

Se la corrente è sinusoidale, $$ I = \ sin (2 \ pi f t) $$ con f la frequenza.La differenziazione dà: $$ V = 2 \ pi f L \ cos (2 \ pi f t) $$

quindi anche la forma d'onda della tensione è sinusoidale ma con uno sfasamento di 90 gradi (da seno a cos) e un fattore moltiplicativo di \ $ 2 \ pi f L \ $, che è l'ampiezza della reattanza che dichiari.

Se V e / o io non sono onde sinusoidali, questa relazione non vale.