I numeri complessi sono simili ai vettori, ma hanno alcune proprietà matematiche extra che li rendono utili. In particolare, l'uso del complesso esponenziale \ $ e ^ {j \ omega t} \ $ invece di seno e coseno rende le equazioni differenziali molto più facili da gestire. È così che si arriva a un'impedenza complessa in primo luogo:

$$ v (t) = A \ mathrm e ^ {\ mathrm {j} \ omega t + \ theta} $$ $$ i (t) = B \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t + \ phi} $$ $$ \ frac {v (t)} {i (t)} = Z = \ frac AB \ mathrm e ^ {\ mathrm j (\ theta - \ phi)} $$

Oppure, in notazione fasoriale:

$$ \ hat V = A \ angle \ theta $$ $$ \ hat I = B \ angle \ phi $$ $$ \ frac {\ hat V} {\ hat I} = Z = \ frac A B \ angle (\ theta - \ phi) $$

Potresti usare qualcosa come la notazione vettoriale per la grandezza e la fase, ma i vettori non si moltiplicano e si dividono come fanno i numeri complessi, quindi non migliorerebbe nulla.

EDIT: Numeri complessi sviluppati per risolvere alcuni problemi di algebra. Se vuoi saperne di più sulla storia, dai un'occhiata al primo capitolo di Visual Complex Analysis di Tristan Needham. (Puoi leggere l'anteprima su Amazon se non hai una buona libreria a portata di mano.)

Il secondo capitolo del libro può probabilmente rispondere alla tua domanda da solo, ma ci proverò anch'io. I numeri complessi sono, in un certo senso, quantità bidimensionali, ma ciò che li rende utili qui è che includono anche il concetto di rotazione. La moltiplicazione per \ $ \ sqrt {-1} \ $ equivale a una rotazione di 90 ° su un piano 2D:

$$ \ mathrm i ^ 0 = 1 $$ $$ \ mathrm i ^ 1 = \ mathrm i $$ $$ \ mathrm i ^ 2 = -1 $$ $$ \ mathrm i ^ 3 = - \ mathrm i $$ $$ \ mathrm i ^ 4 = 1 $$

Possiamo ampliarlo con esponenziali complessi, rappresentando una rotazione di qualsiasi importo:

$$ \ mathrm e ^ {j \ pi / 4} \ cdot \ mathrm e ^ {j \ pi / 4} = \ mathrm e ^ {j (\ pi / 4 + \ pi / 4)} = \ mathrm e ^ {j \ pi / 2} = \ mathrm i $$ $$ 45 ^ \ circ + 45 ^ \ circ = 90 ^ \ circ $$

Nota che otteniamo questo risultato eseguendo operazioni aritmetiche normali: la moltiplicazione degli esponenziali a valori reali funziona allo stesso modo.

Perché è importante? Possiamo già rappresentare rotazioni con seno e coseno, giusto? Ma questo diventa sgradevole nelle equazioni differenziali, principalmente perché non puoi combinare seno e coseno aggiungendoli. D'altra parte, la derivata di \ $ \ mathrm e ^ x \ $ è ... stessa. Nessun problema!

Allora da dove viene l'impedenza? Bene, pensa alla differenza tra CC e stato stazionario sinusoidale. In DC, le tensioni dei nodi sono valori costanti con diverse grandezze. In CA, le tensioni di nodo sono sinusoidali con la stessa frequenza ma diverse grandezze e angoli di fase . Anche le relazioni tensione / corrente cambiano. Con un resistore, tensione e corrente sono in fase. In un induttore o in un condensatore, c'è una differenza di fase di 90 ° tra loro.

Quindi ora il concetto di rotazione (fase "angolo") si è insinuato nella nostra analisi dei circuiti. Potremmo rimanere nel dominio del tempo e fare cose del genere:

$$ v = L \ frac {\ mathrm d i} {\ mathrm d t} $$ $$ V \ cos (\ omega t) = \ omega L \ cdot I \ cos (\ omega t - 90 ^ \ circ) $$

Oppure usiamo numeri complessi, dove una rotazione \ $ 90 ^ \ circ \ $ significa semplicemente moltiplicare per i (beh, \ $ j \ $ nel nostro caso - questo è EE):

$$ V \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t} = \ mathrm j \ omega L \ cdot I \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t}$$

Il vantaggio principale qui è che tutti i termini \ $ \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t} \ $ si annullano dalle equazioni, quindi orala nostra relazione tensione / corrente è semplicemente la legge di Ohm con numeri complessi:

$$ \ hat V = \ mathrm j \ omega L \ hat I $$

Se dovessi riassumere tutto questo in una frase, direi che i numeri complessi ti consentono di rappresentare la rotazione raggruppando insieme la grandezza e la fase separatamente dalla frequenza, mentre le sinusoidi raggruppano la frequenza e la fase insieme.

Perché vengono utilizzati numeri complessi e non vettori?

semplicemente perché non esiste una divisione vettoriale definita nell'algebra vettoriale, quindi semplicemente non puoi usare la legge di Ohm in forma di divisione, rendendo così i calcoli più complicati. D'altra parte il dominio del numero complesso atematico è progredito nel tempo più della controparte vettoriale, quindi hai molti teoremi a tua disposizione per esprimere semplicemente la tua espressione ed eseguire (facilmente) l'analisi. Quindi, anche se potresti lavorare con l'algebra vettoriale, è più facile lavorare con numeri complessi.

per saperne di più: https://math.stackexchange.com/questions/246594/what-is-vector-division

perché le impedenze sono rappresentate come numero complesso?

considera il seguente circuito:

se Q è la carica sul condensatore e i è la corrente, allora usando KVL avremo

$$ R \ times i + \ frac QC + L \ times \ frac {di} {dt} = V \ dots (1) $$ $$ \ implica \ frac {d ^ 2i} {dt ^ 2} + \ frac RL \ times \ frac {dQ} {dt} + \ frac 1 {LC} \ times i = 0 \ punti (2) $$ $$ \ implies i = Ae ^ {a_1t} + Be ^ {a ^ 2t} $$ dove $$ a_1, a_2 \ in C $$ e le soluzioni generali dell'equazione differenziale del 2 ° ordine sono sempre di natura complessa.

quindi, la tua i è un'espressione complessa e mettere questo valore nell'equazione 1 darà V che sarà anche un'espressione complessa. Dividendo V per i , otterrai un'altra espressione complessa che chiamiamo impedenza di questo circuito. Quindi vedi, il motivo per cui un'impedenza è complessa è a causa della matematica coinvolta.

Ora, se vuoi avere una "sensazione" di impedenza complessa, dovresti conoscere i fasori e avere un'analogia con questo.

Ulteriori informazioni: https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-007-electromagnetic-energy-from-motors-to-lasers-spring-2011/lecture-notes/MIT6_007S11_lec19.pdf

Giusto per sottolineare che puoi rappresentare l'impedenza come una matrice :

$$ R + \ mathrm j X \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} R & X \\ -X & R \ end {bmatrix} $$

Questa è in effetti la rappresentazione a matrice di numeri complessi. D'altra parte puoi rappresentare segnali sinusoidali (ma non impedenza) usando vettori:

$$ x _ {\ cos} + \ mathrm j x _ {\ sin} \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} x _ {\ cos} \\ x _ {\ sin} \ end {bmatrix} $$

Addizione / sottrazione / scalatura di impedenza e sinusoidi sono ovviamente solo le omonime operazioni su matrici e vettori. L'ammettenza è la matrice inversa dell'impedenza:

$$ (R + \ mathrm j X) ^ {- 1} \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} R & X \\ -X & R \ end {bmatrix} ^ {- 1} = \ frac 1 {(R ^ 2 + X ^ 2)} \ begin {bmatrix} R & -X \\ X & R \ end {bmatrix} $$

Puoi moltiplicare l'impedenza con la corrente o l'ammettenza con la tensione:

\ begin {align} \ begin {bmatrix} R & X \\ -X & R \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} io _ {\ cos} \\ io _ {\ sin} \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} R i _ {\ cos} + X i _ {\ sin} \\ R i _ {\ sin} - X i _ {\ cos} \ end {bmatrix} \\ \ begin {bmatrix} G & B \\ -B & G \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u _ {\ cos} \\ u _ {\ sin} \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} G u _ {\ cos} + B u _ {\ sin} \\ G u _ {\ sin} - B u _ {\ cos} \ end {bmatrix} \ end {align}

La differenza di fase è anche una matrice:

$$ {\ mathrm e} ^ {\ mathrm j \ varphi} = \ cos \ varphi + \ mathrm j \ sin \ varphi \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} \ cos \ varphi & \ sin \ varphi \\ - \ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {bmatrix} $$

La derivata è semplicemente \ $ \ omega \ $ volte un anticipo di fase di 90 gradi:

$$ \ mathrm j \ omega \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} 0 & \ omega \\ - \ omega & 0 \ end {bmatrix} $$

Con quello che abbiamo ottenuto finora possiamo scrivere equazioni differenziali come equazioni di matrice

\ begin {align} U_0 \ cos {\ omega t} = u + R C \ frac {\ mathrm d u} {\ mathrm d t} \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} U_0 \\ 0 \ end {bmatrix} = (\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} + R C \ begin {bmatrix} 0 & \ omega \\ - \ omega & 0 \ end {bmatrix}) \ mathbf u = \ begin {bmatrix} 1 & R C \ omega \\ -R C \ omega & 1 \ end {bmatrix} \ mathbf u \ end {align}

... e risolverlo calcolando la matrice inversa di \ $ \ begin {bmatrix} 1 & R C \ omega \\ -R C \ omega & 1 \ end {bmatrix} \ $ e quindi moltiplicalo per ottenere il vettore \ $ U_0 \ $ .

Come puoi vedere, però, questo sistema di notazione è piuttosto prolisso e non fornisce una rappresentazione intuitiva di fase e ampiezza (tutto è essenzialmente in coordinate cartesiane).

A proposito, la potenza ha una rappresentazione chiara come il prodotto punto vettoriale:

$$ \ frac 1 2 (u _ {\ cos} i _ {\ cos} + u _ {\ sin} i _ {\ sin}) = \ frac 1 2 {\ mathbf i} ^ {\ mathrm T} \ mathbf u = \ frac 1 2 \ begin {bmatrix} i _ {\ cos} & i _ {\ sin} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u _ {\ cos} \\ u _ {\ sin} \ end {bmatrix} $$

In breve: puoi visualizzare un'impedenza come un tipo di vettore, ma la matematica vettoriale non cattura il comportamento dell'impedenza. I numeri complessi non sono così visivamente attraenti, inizialmente, ma matematicamente funzionano in modo simile alla funzione dell'impedenza all'interno di un circuito.

Questo combina due concetti che tratterò separatamente: come si comporta un'impedenza complessa e come lo rappresenta un numero complesso.

Mentre una resistenza cambia solo l'ampiezza di un segnale assorbendo energia, un'impedenza complessa può modificare sia l'ampiezza che la fase del segnale. Ciò significa che l'impedenza può immagazzinare energia dal segnale e successivamente restituire tale energia al sistema; questo provoca una risposta ritardata, che per segnali periodici può apparire come una rotazione in entrambe le direzioni.

Quindi l'effetto combinato su grandezza e direzione ci riporta alla tua domanda: perché non usiamo un vettore? In senso generale, lo facciamo! I sistemi di alimentazione utilizzano un concetto simile chiamato fasore.

Questo rappresenta ciò che accade quando un segnale (corrente I) di una certa frequenza viene spinto attraverso un'impedenza Z. La corrente inizia con un'ampiezza e una fase (angolo), che l'impedenza modifica in base alla propria ampiezza e fase (rotazione) . La tensione risultante V è il prodotto delle grandezze, ruotato dalla somma degli angoli.

I fasori sono fondamentali quando si lavora con più fasi di alimentazione; dove ogni fasore sta monitorando la differenza tra valori complessi. Per la maggior parte dei segnali audio o RF, in cui è evidente un riferimento comune, i fasori V, I, Z si riducono in valori singoli (complessi).

Questo porta alla parte finale della risposta.Gli scalari complessi catturano le stesse informazioni dei vettori - grandezza e angolo - ma matematicamente non funzionano allo stesso modo.Se una frequenza RF fosse descritta come un valore vettoriale, la modellazione di un'impedenza richiederebbe la moltiplicazione della matrice per catturare gli effetti sia sull'ampiezza che sulla fase;nessun tipo di moltiplicazione vettoriale andrebbe bene.I numeri complessi funzionano allo stesso modo dell'impedenza, fornendo lo strumento perfetto per rappresentare sia il valore che la funzione di un'impedenza.

La parte immaginaria rappresenta la fase o il ritardo di un'onda sinusoidale. Può essere rappresentato da unità di pi greco, gradi o un numero complesso.

Fonte: https://www.mathsisfun.com/algebra/amplitude-period-frequency-phase-shift.html

Un componente elettrico può causare uno sfasamento in un'onda sinusoidale (induttori e condensatori lo fanno).Possiamo rappresentare quanto un condensatore o un induttore sposta la fase come un componente immaginario e trattarli come resistori.Questo semplifica l'analisi del circuito

La proprietà è desiderata perché possiamo usare la matematica immaginaria per portare in giro le informazioni sulla fase, il che è molto più facile che aggiungere funzioni sin con la fase insieme.

L'impedenza complessa può essere espressa in Fasore (dominio polare) o ortogonale (dominio cartesiano)

Le coordinate polari sono più utili per lo sfasamento a frequenza singola nell'analisi del sistema di alimentazione.

Il dominio ortogonale è più utile per l'elettronica in cui sono disponibili parametri espliciti per DCR, ESR e misure reattive memorizzate rispetto alla perdita e comunemente specificati nelle schede tecniche.

Matematica: il numero complesso viene utilizzato per cambiare il dominio da t a frequenza.Nel dominio t le equazioni saranno differenziali e integrali, nel dominio della frequenza le equazioni saranno semplici.Vedi trasformazione di Laplace.Questa è una soluzione matematica e crea l'idea del fasore.L'effetto fisico che si vede nel dominio del tempo originale dovuto a variazioni di corrente o tensione nel tempo per di / dt o integrale di i.dt per il campione, è possibile impostare nel dominio della frequenza per utilizzare la componente immaginaria del numero complesso.Z = r + jx contiene una parte reale R e una parte X che significa gli effetti delle variazioni dovute alla corrente alternata nell'induttanza come legge di Faraday e nella capacità.L'idea fisica del fasore è diversa dal vettore, significa un'alternanza di cambiamenti nel tempo come una curva senoidale ma è scritta senza tempo di utilizzo.

In realtà, l'impedenza è il sole di un valore reale (resistenza) e un vettore.Il tuo j = sqrt (-1) è in realtà un vettore unitario.Si prega di mantenere questo segreto, ma ci sono altri due vettori di unità ortogonali a j.Li chiamiamo i e k.i, j e k sono i vettori unitari standard nello spazio tridimensionale e ciascuno è una radice quadrata di -1.Inoltre, il prodotto incrociato i X j = k.Quindi i numeri complessi sono solo un sottoinsieme di questo strano spazio di vettori più numeri reali.Pensa di aggiungere mele e scimmie.